《AM730》鈺成其事

條件概率

2016年8月15日 《AM 730》 鈺成其事

假設某選區裡的選民有三分之一是40歲以下,三分之二是40歲或以上;民意調查顯示,40歲以下的選民有36%支持建制派,64%支持非建制派;40歲或以上的選民,有54%支持建制派,46%支持非建制派。在該選區裡隨意找一個支持建制派的選民,他是40歲以下的機會是多少?
為方便計算,可設選區裡有選民300人(這假設對計算結果沒有影響),即40歲以下的有100人,其中36%即36人支持建制派;40歲或以上的有200人,其中54%即108人支持建制派。即是說,支持建制派的選民合共有36+108=144人,其中40歲以下的佔了36人,即144的25%。由此可知,任意找一個支持建制派的選民,他是40歲以下的機會是25%。

這類問題叫「條件概率」。一般地,如果事件A及事件B同時發生的機會是x,而事件B發生的機會是u,那末已知事件B發生的條件下,事件A發生的機會是x除以u。
上次在本欄提出的「誰獲欽點」問題,可以用這個辦法去求解。甲獲欽點的機會是三分一;而倘若甲獲欽點,乙丙二人有相等的機會被丁點名,即機會各為二分一。所以,甲獲欽點且丙被點名的機會是三分一的二分一,即六分一。把這比率叫x。

乙獲欽點的機會也是三分一;但倘乙獲欽點,丙必被點名,所以乙獲欽點且丙被點名的機會仍是三分一。把這比率叫y。

丙獲欽點的機會當然也是三分一,而倘若獲欽點的是丙,他就不會被點名,所以丙獲欽點且被點名的機會是0。把這叫z。

丙在所有情況下被點名的機會就是x+y+z,等如二分一。把這叫u。
現在已知丙被點名,所以甲獲欽點的機會是 x除以u,即三分一;乙獲欽點的機會是y除以u,即三分二。

蒙提霍爾問題也是計算條件概率。把三道門分別叫A、B和C,設遊戲者選擇了A,然後主持人打開C,顯示那裡沒有車。A有車的機會是三分一;倘A有車,主持人打開B或C的機會各為一半,所以A有車且主持人打開C的機會是六分一。倘B有車,主持人一定要打開C,所以B有車且主持人打開C的機會是三分一。憑以上欽點問題相同的計算,得知B有車的機會是A的兩倍。

(完)

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