《AM730》鈺成其事

不是算術

2018年5月31日 AM 730《鈺成其事》

最近幾位友人不約而同地發來以下問題:1=4,2=8,3=24,4=?

這問題似乎已廣為流傳,吸引了不少人的興趣。有人得意地表示自己答對了;另有人則自怨中了圈套,提出96這「錯誤」答案;他們看到每個等號右邊的數,都是該等號左邊的數乘前一個等號右邊的數:2×4=8,3×8=24,所以接著應是4×24=96;又或者他們用了「階乘」n!,看到4,8,24,……這序列的規律是4×1!=4,4×2!=8,4×3!=24,所以下一個是4×4!=96。

誰知出題者說:「嘿,中計了!正確的答案很簡單:因為1=4,所以4=1。」

這問題蠱惑的地方在於中間兩個等式2=8和3=24,原來都是「假線索」,用來擾亂思路,把解題者引入歧途。真正的線索,是題目的寫法:如果真的要從已知的首三項求出下一項,題目不會列出1=4、2=8、……;只會問「4,8,24,下一項是甚麼?」這是一類常見IQ題的形式。

作為數學教師,對於「因為1=4,所以4=1」這推斷,不能不多說幾句。這推斷的依據,是「=」這關係的「對稱性」:當a=b,必有b=a。並不是所有關係都是對稱的,例如a<b時,便不可能b<a;又如「同學」關係對稱(倘甲是乙的同學,乙必也是甲的同學),但「朋友」或「敵人」關係都不一定對稱。

「當a=b,必有b=a」裡面的「=」,表示算術裡的相等關係;這關係是對稱的,所有小學生都知道。可是,上面那條蠱惑題所用的「=」,是表示算術裡的相等關係嗎?顯然不是;如果是算術裡的相等,就不可能有1=4、2=8。即是說,題目裡的「=」表示的是另一個關係,而這關係是不是對稱的,沒法從已知條件推斷得到。

事實上,除了表示算術的相等之外,「=」還有其他用法。例如編寫電腦程序,常會用「n=n+1」這指令,表示把先前使用的n的值換作n+1的值;這裡的「=」就不是對稱的。在不知道「=」所代表的關係怎麼定義的時候,我們不能說「因為1=4,所以4=1」。

話說回來,假如問的是「正路」的IQ題「4,8,24,下一項是甚麼」,你會答96,對嗎?讀數學的人卻會說:任何數都可以是答案。

180531.jpg

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com 標誌

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 /  變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 /  變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 /  變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 /  變更 )

連結到 %s