《AM730》鈺成其事

純屬運氣

2017年6月26日 AM 730《鈺成其事》

在網上看到以下據稱是「北海道大學期末考試的超難問題」:

從1到100中寫出其中一個你喜歡的數字,只要沒有和其他考生答案重複,寫出最大數字的考生可獲加60分。

寫哪一個數字勝算最高?

考生愈多,問題便愈複雜;不如先考慮只有兩個考生的最簡單情況。

假設考生只有甲、乙二人。甲會想:如果我寫100,乙寫任何其他數字,我便勝出了;即使乙也寫100,我和他都不能勝出,也只是和局。可是如果我寫任何小於100的數字,一旦乙寫100,我便輸了。所以,我的最佳選擇是100。

以上的計算是正確的。但乙也會作同樣的計算,所以兩名考生都會寫100,結果是和局,即沒有人拿到那60分。

現在假設考生有甲、乙、丙三人。情況複雜多了。試從甲的角度去想:如果甲寫了100,乙、丙二人所寫的數字,有以下4種可能組合,各有不同的結果:(1) 乙、丙二人和甲一樣寫100——和局;(2) 乙寫100,丙寫其他數字——丙勝出;(3) 乙寫其他數字,丙寫100——乙勝出;(4) 乙、丙二人都寫小於100的數字——甲勝出。

假如這4種結果出現的機會均等(即要假設乙、丙二人各有一半機會選100或不選100,這是很大的假設,但並非不合理),那末甲、乙、丙三人各自勝出的機會都是四分之一,另有四分之一機會無人勝出。

如果甲寫了99,上列4種乙、丙選擇數字的組合便會得出不同的結果:(1)的結果是甲勝,(2)是乙勝,(3)是丙勝;至於(4)的結果怎樣,要看乙和丙有沒有寫99。重複上段的推理,把100換成99,可推算得在出現了(4)的情況下,甲、乙、丙當中一人勝出以及和局的機會各是四分之一。把這些結果加起來,如果甲不寫100而寫99,三人勝出的機會仍是均等,只是和局的機會降低了一點。

這計算方法可以繼續用來處理甲寫98、97、……的情況。結論是:不論甲寫甚麼數字,三人勝出的機會都是均等的;甲寫的數字愈小,和局的機會愈低,即有一人勝出的可能性愈大。這結論和憑直覺作出的判斷是一致的。

倘若增加考生人數不會改變這個結論,我們便只能忠告考生:沒有必勝的數字;你只能隨意寫一個你喜歡的數字,碰碰運氣!

170626_am730

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s