《AM730》鈺成其事

人同此色

2017年3月20日 AM 730《鈺成其事》

本文聽從智者指點,不觸及特首選舉,不冒犯名人俊傑;只玩數字,不談政治。

有一班人玩集體遊戲,其中一個環節要每人選擇一種顏色。如果參加者互不溝通,各自獨立選擇,過半數的人選擇同一顏色的機會有多大?

這問題太籠統,不好解;讓我們給它加點限制。首先確定人數,譬如說共有5人;過半數就是3人、4人或5人。然後限定顏色的數目。如果只有兩種顏色供選擇,那就不用計算,一定有一種顏色獲得過半數的人選擇,即機會是百分百。

如果有3種顏色(紅、藍、綠),問題便有趣多了。5個人,每人可以有3個選擇;假設各人選擇紅、藍或綠的機會都一樣,那就總共有3自乘5次,即243個機會相等的選擇組合。

在243個選擇組合當中,5人全選同一顏色的組合佔了3個(即全紅、全藍、全綠各1個)。點算4人同色的組合要複雜一點:首先,4紅1藍的組合有5個(因為那「1藍」可以屬於5人當中的任何一人);同樣,4紅1綠的組合也有5個,所以4紅的組合共有10個。同理可知,4藍和4綠的組合也各有10個。加起來,4人同色的組合總共有30個。

最後要點算3人同色的組合。3紅2藍和3紅2綠,各有10個組合(因為在5人當中選出2人,有10個選法);3紅1藍1綠的組合,有20個(5人當中任意一人可以選藍,餘下4人任意一人可以選綠,5 X 4 = 20);加起來,3紅的組合共有40個。同樣,3藍和3綠各也有40個組合,所以3人同色的組合總共有120個。

由此可知,3至5人同色的組合共有120 + 30 + 3個,即153個,佔了組合總數243的63%,即過半數人選擇同色的機會超過六成。用同樣辦法可以算出,如果依然是3種顏色,但人數增至7人,過半數同色的機會大約是52%,略多於一半;如果增至10人,機會將下降至23%;增至20人,下降至11%。

以上計算,是假設每個人選擇每一種顏色的機會都一樣。如果有一種顏色特別多人喜愛,或者有顏色特別少人喜愛,過半數的人選擇同一顏色的機會便提高了。另一方面,如果有些人甚麼顏色都不選,過半數的人同色的機會便要降低。

170320_am730

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